El álgebra de boole
Álgebra de Boole:
Retomando lo
mencionado; es un sistema matemático utilizado para la representación de la
lógica, desarrollada en 1854 por George Boole (Inglaterra). En 1937 Claude
Shannon, otro ilustre matemático (EE.UU.), la propuso como la herramienta para
resolver problemas de diseños de circuitos electrónicos.
Al ser una
lógica binaria (verdadero/falso) resulta una herramienta adecuada para el
análisis y diseño de circuitos digitales, que utilizan dos niveles lógicos, 0 y
1.
En la
actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito
del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño
de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en 1948. Esta lógica se puede
aplicar a dos campos:
Al análisis,
porque es una forma concreta de descubrir cómo funcionan los circuitos.
Al diseño,
ya que teniendo una función se aplica dicha álgebra para poder desarrollar una
implementación de la función.
Definiciones:
El álgebra
de Boole está formada por un conjunto de variables booleanas, x ∈ {0,1}. Es decir, variables que sólo pueden tomar dos valores: 0 ó
1, abierto o cerrado, encendido o apagado, etc.
Un literal
“l” es una variable o su negada, Existen dos tipos: literales con signo
positivo cuando representan el valor “1” de la variable (l = x), y con
signo negativo cuando representa el valor “0” 
Una cláusula
(o término C) está formada por un conjunto de literales enlazados mediante
conectivas lógicas.
Una fórmula lógica ϕ está formada por conjuntos de cláusulas enlazadas mediante conectivas lógicas. Matemáticamente, toda fórmula lógica ϕ de n variables puede verse también como una función multivariable, esto es:
Una interpretación de una
fórmula lógica ϕ es el valor
lógico de la formula cuando se le asignan valores de verdad (TRUE / FALSE) a
sus variables. En consecuencia, existirán tantas interpretaciones como
combinaciones de asignaciones posibles.
Operaciones básicas
El álgebra de boole está definido por 3 operaciones básicas:
complemento, suma (OR) y producto (AND).
El complemento es el negado: y = -a
|
NOT |
|
|
a |
y |
|
0 |
1 |
|
1 |
0 |
La operación suma u OR se representa y = a + b.
|
OR |
||
|
a |
b |
y |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
- A + A = A
- A + (-A) = 1
La operación producto u AND se representa y = a * B.
|
AND |
||
|
a |
b |
y |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
- A * 0 = 0
- A * 1 = A
- A * A = A
- A * (-A) = 0
Propiedades
Conectivas derivadas
NOR
Es la negada de la función “OR”
|
NOR |
||
|
a |
b |
Y |
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
NAND
Es la negada de la función “AND”
|
NAND |
||
|
a |
b |
Y |
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
XOR
Es la función OR excluyente: o uno o el otro, pero no los dos. Se
puede utilizar para detectar señales que son distintas:
|
XOR |
||
|
a |
b |
Y |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
XNOR
Es la negación de la función “XOR”. Se puede utilizar para detectar
señales iguales:
|
XOR |
||
|
a |
b |
Y |
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
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