Resolviendo un ejercicio con el Algebra de Boole

Ejemplo Práctico de reducción de una función lógica con el Algebra de Boole.

Para nuestro ejemplo, usamos la Función Mayoría. La ecuación booleana que describe la función mayoría, es cierta cada vez que F es cierta en la tabla de verdad. Así F es cierta cuando A = 0, B = 1 y C = 1; o cuando A = 1, B = 0 y C = 1; y así sucesivamente en los restantes casos.

 

 

A partir de la tabla de verdad obtenemos la ecuación con la forma suma de productos, dónde se realiza una suma lógica (or) representados por “+”, de un conjunto de circuítos lógicos (and) representados por ”·“ entre las distintas variables:

 

 

Al inspeccionar la ecuación, se obtiene el siguiente diagrama de compuertas:

 

 

Simplificación de circuitos lógicos.

Los circuitos que se obtienen a partir de ecuaciones no simplificadas pueden ser muy grandes, por lo que en lo posible, las expresiones lógicas deben reducirse para convertirlas en ecuaciones lógicamente equivalentes pero más pequeñas.

Es deseable reducir los circuitos porque, en general:

. Se consume menos energía.

. El circuito es más rápido.

. Hay menor probabilidad de fallas.

. El diseño resultante es más barato.

Método Algebraico

Utilizando las propiedades del álgebra de boole.

 

 

 

 

Mapas de Karnaugh

Es una técnica gráfica que se usa para visualizar los términos mínimos de una función junto con las variables que les son comunes. Las variables comunes a más de un término mínimo son candidatas a su eliminación.

 

Los unos adyacentes del mapa, satisfacen las condiciones requeridas para aplicar la propiedad del complemento. Las agrupaciones en celdas adyacentes se realizan en cantidades de términos mínimos que deben ser potencia de dos.

La agrupación de unos adyacentes hace posible la simplificación.

La ecuación obtenida con el mapa es:

 

Y el circuito simplificado:

 

 

 

 

Fuentes consultadas:

• Matemáticas Discretas. Richard Johnsonbaugh. Año 2005.

• Arquitectura de Computadoras. Murdocca Miles. Año 2002.